Videz la fonto/fonti por Derivajo

{{specala revizo}}
En [[matematiko]], la '''derivajo''' di funciono en punto es la signata mezuro dil [[rapideso]] a qua ta funciono chanjas kande sua [[varianto]] chanjas. Por funcioni kun multi varianti, on dicas dil partala derivajo per raporto a l’un di sua varianti.

Sur la grafo dil funciono, to korespondas a sua inklineso en ta punto.
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[[Arkivo:Courbe simple.png]]
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En l'exemplo apuda:
* en 0, la kurvo decensas, do la derivajo y es neganta (ol valoras -1)
* en 1, la kurvo decensas sempre, ma la inklineso es li plu mikra (-0,5).
* en 2, la kurvo es perfekta horizontalo, do la derivajo es nula (0).
* en 3, la kurvo acensas, do la derivajo es li pozitiva (0,5).
|}

== Formala defino ==

Sive <math>f</math> [[reala nombro|reala]] funciono kun reala valori.

On apelas ''procento di augmento di <math>f</math> en <math>x_0</math>'' la quanto :

:<math>t_{x_0}(h) = {f(x_0+h)-f(x_0) \over h}</math>

Kad <math>t_{x_0}(h)</math> havas limito kande <math>h</math> tendencas vers 0, on dicas ke <math>f</math> es derivadeblo en <math>x_0</math>, e sua derivajo es egala ala limito di ta procento ce di augmento. On notas lore :

:<math>f'(x_0) = \lim_{h \to 0} t_{x_0}(h) = \lim_{h \to 0}{f(x_0+h)-f(x_0) \over h}</math>

Funciono per qua la derivajo existas en punto es dicinta derivadeblo en ta punto.

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[[Arkivo:tangente2.gif]]
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Ta kalkulo di limito rivenas grafike a riserchar la [[tangento]] di la kurvo en ta punto.

Do, la derivajo di funciono en punto, se ol existas, es egala ala inklineso di la tangento a grafo di la funciono en ta punto.

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La derivajo povas anke esar definita sur da funcioni altra ke reala a reala valori.

Exemple, reala funciono <math>f</math> kun valori en <math>\R^n</math>, es derivadeblo en <math>x_0</math> se e sole se omna sua [[koordinati]] es derivadeblo en <math>x_0</math> ; e sua derivajo es la funciono do la koordinati es la derivadi di koordinati di <math>f</math>.

== Funciono derivajo ==

La derivadala es ante locala nociono (derivadala en punto), ma se funciono es derivadeblo sur omna intervalo, on povas definar sua ''derivadala funciono'' sur l'intervalo en questiono. La derivadala funciono, notita <math>f'\,</math> (prononcée ''« f prime »'') o <math>\frac{df}{dx}</math>, prenas en omni punto la valoro dil derivajo di <math>f\,</math> en ta punto.

Funciono egala a sua derivajo es nomizita [[exponentala]].

<math>f'(x)\,</math> povas facile kalkular su de expresiono <math>f(x)\,</math> uzanta mikra nombro di algebrala normi deduktita dil defino donita ante. La normi plu ordinare uzata esas:

{| align="center" border="1" cellpadding="5" style="border: 1px solid #aaa;margin-top: 0.5em;margin-bottom: 0.5em;border-collapse:collapse;"
! Nomo
! Normi
! Kondicioni
|-----
| ''[[Lineara]]'' || <math>(af+bg)^\prime = af' + bg'</math>
| Kelka sive la derivadeblo funcioni <math>f\,</math> e <math>g\,</math> e la [[reala nombro|reali]] ''a'' e ''b''.
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| Potenco || <math>(f^\alpha)^\prime = \alpha f^{\alpha-1}f'</math>
| Kelka sive <math>\alpha \in \mathbb Z</math>, e mem kelka sive <math>\alpha \in \mathbb R</math> se f es pozitiva
|-----
| Produto || <math>(fg)^\prime = f'g+fg'</math>
| Kelka sive la derivadeblo funcioni <math>f\,</math> et <math>g\,</math>
|-----
| Quociento
| <math>\left({f \over g}\right)' = {f'g-fg' \over g^2}</math>
| Kelka sive la derivadeblo funcioni <math>f\,</math> e la derivadeblo funcioni <math>g\,</math> ne nihila
|-----
| Radiko
| <math>\left(\sqrt f\right)' = {f' \over 2\sqrt f}</math>
| Kelka sive la derivadeblo funcioni <math>f\,</math> strikte pozitiva
|-----
| kompozita
| <math>(f \circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'</math>
| Kelka sive la derivadeblo funcioni <math>f\,</math> e <math>g\,</math>
|}

== derivajo di ordinara funcioni ==
=== derivajo di funcioni potenco, log, exp ===

{| align="center" border="1" cellpadding="5" style="border: 1px solid #aaa;margin-top: 0.5em;margin-bottom: 0.5em;border-collapse:collapse;"
! Funcioni
! Derivadi
! Kondicioni
|-----
| <math>a\,\!</math> || <math>0\,\!</math> ||
|-----
| <math>a x\,\!</math> || <math>a\,\!</math> || <math>x\,\in\mathbb{R}</math>
|-----
| <math>a x^n\,\!</math> || <math>anx^{n-1}\,\!</math> || <math>n\,\in \mathbb Z\quad x\,\in\mathbb{R}^*</math>
|-----
| <math>e^f\,\!</math> || <math>f'e^f\,\!</math> || <math>f\,\!</math> derivadeblo
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| <math>a^x\,\!</math> || <math>a^x \ln a\,\!</math> || <math>a\,\in\mathbb{R}_+^* \quad x\,\in\mathbb{R}</math>
|-----
| <math>\ln |x|\,\!</math> || <math>1 \over x\,\!</math> || <math>x\,\in\mathbb{R}^*</math>
|}

=== Derivadi des [[trigonometrika funciono|trigonometrika funcioni]] ===

* Se <math>f(x) = \sin(x)\,</math> alors <math>f'(x) = \cos(x)\,</math>
Demonstro :
{|
| <math>f'(x)= \lim_{x \to a}{ \sin(x) - \sin(a) \over x-a}</math>
|-
| <math>x=a+b\,</math>
|-
| <math>f'(x)= \lim_{b \to 0}{ \sin(a+b) - \sin(a) \over (a+b)-a}</math>
|-
| <math>f'(x)= \lim_{b \to 0}{ \sin(a) \cdot \cos(b) + \sin(b) \cdot \cos(a) - \sin(a) \over b}</math>
|-
| <math>f'(x)= \lim_{b \to 0}\sin(a){ \cos(b) - 1 \over b} + \cos(a) \cdot { \sin(b) \over b}</math>
|-
| <math>\lim_{b \to 0}{ \cos(b) -1 \over b} = 0</math>
|-
| <math>\lim_{b \to 0}{\sin(b) \over b} = 1</math>
|-
| <math>f'(x)= \cos(a)\,</math>
|}
* Se <math>f(x) = \cos (x)\,</math> alors <math>f'(x) = -\sin (x)\,</math>
Demonstro :
{|
| <math>f(x)= -\sin(a)\,</math>
|-
| <math>f'(x) = \lim_{x \to a}{ \cos(x) - \cos(a) \over x-a}</math>
|-
| <math>x=a+b\,</math>
|-
| <math>f'(x) = \lim_{b \to 0}{ \cos(a+b) - \cos(a) \over (a+b)-a}</math>
|-
| <math>f'(x) = \lim_{b \to 0}{\cos(a) \cdot \cos(b) - \sin(a) \cdot \sin(b) -\cos(a) \over b}</math>
|-
| <math>f'(x) = \lim_{b \to 0}\cos(a){ \cos(b) -1 \over b} - \sin(a) \cdot {\sin(b) \over b}</math>
|-
| <math>\lim_{b \to 0}{\cos(b) - 1 \over b} = 0</math>
|-
| <math>\lim_{b \to 0}{\sin(b) \over b} = 1</math>
|-
| <math>f'(x)= -\sin(a)\,</math>
|}
* Se <math>f(x) = \tan(x)\,</math> alors <math>f'(x) = \sec^2 (x)\,</math>
Demonstro :
* Se <math>f(x) = \operatorname{cotan} (x)\,</math> alors <math>f'(x) = -\operatorname{cosec}^2 (x)\,</math>
Demonstro :
* Se <math>f(x) = \sec (x)\,</math> alors <math>f'(x) = \sec (x) \cdot \tan (x)\,</math>
Demonstro :
* Se <math>f(x) = \operatorname{cosec} (x)\,</math> lore <math>f'(x) = -\operatorname{cosec} (x) \cdot \operatorname{cotan} (x)\,</math>


=== Derivadi dil inverso di trigonometrika funciono ===

* Se <math>f(x) = \arcsin(x)\,</math>, lore <math>f'(x) = {1 \over \sqrt{1-x^2}}</math>
* Se <math>f(x) = \arcsin(\varphi(x))\,</math>, lore <math>f'(x) = {\phi'(x) \over{\sqrt{1-\phi (x)^2}}} </math>
* Se <math>f(x) = \arccos(x)\,</math>, lore <math>f'(x) = {-1 \over \sqrt{1-x^2}}</math>
* Se <math>f(x) = \arccos(\varphi(x))\,</math>, lore <math>f'(x) = {-\phi'(x) \over{\sqrt{1-\phi (x)^2}}} </math>
* Se <math>f(x) = \arctan(x)\,</math>, lore <math>f'(x) = {1 \over{1+x^2}}</math>
* Se <math>f(x) = \arctan(\varphi(x))\,</math>, lore <math>f'(x) = {\phi'(x) \over{1+\phi(x) ^2}} </math>

== derivajo di ordino n ==

On definas la derivajo di ordino <math>n</math> per funciono <math>n</math> foye derivadeblo per [[racione per rekurenta|rekurenta]] :

<math>\frac{d^{n+1}f}{dx^{n+1}}=\frac{d}{dx} \frac{d^n f}{dx^n}</math>

<math>\frac{d^n f}{dx^n}</math> es egale notita <math>f^{(n)}</math>.

=== Formulo di Leibniz ===

Se <math>f, g</math> esas de la funcioni <math>n</math> foye derivadeblo, lore :

<math>(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} { n \choose k } f^{(k)}g^{(n-k)}</math>.

En partikulara per <math>n=2</math>, 
:<math>(fg)''=f''g+2f'g'+fg''\,\!</math>.

Notez la notinda analogeso kun la [[formulo pri la binomio di Newton]].

=== Notizo di Leibniz ===

== Derivadi di procento di ligita varieso ==

=== La derivadi en fiziko, en kemio ed en geometrio ===

== Analiso di funciono derivajo ==

Trovinta la valori di x ube derivajo valas 0 o ne existas, trovesas la [[krizala nombro|krizala nombri]] dil funciono. La krizala nombro di f permisas trovar implicite sua maximi e sua minimi. A efektigar la [[testo dil prima derivajo]], on konstruktas [[tabelo di varianto]] ; se la signalilo dil funciono derivajo pasas di plu a min ante krizala nombro, on havas maximo e se la signalilo dil funciono derivajo pasas di min a plu ante la krizala nombro, on havas minimo.
Pluse, kande la signalilo dil prima derivajo es pozitiva, la funciono acensas ; se ol es negativa, ol decensas. On ne konkluzas nulo se a krizala punto la funciono ne chanjas lua signalilo. En derivadinta la prima derivajo, on havas la [[duesma derivajo]]. A efektigar la [[testo dil duesma derivajo]], trovesas la krizala nombri dil prima derivajo per lokizar en mem tabelo ; kande on observas chanjeso di signalilo dil duesma derivajo ante to krizala nombro o nombri, on dicas ke on havas un (o di) [[punto di inflexo]]. La punto di inflexo markizas chanjeso dil konkaveso dil funciono derivajo. Pozitiva signalilo dil duesma derivajo signifikas ke la funciono es '''konkava vers la alta''' e negativa signalilo dil duesma derivajo signifikas ke la funciono es '''konkava vers la basa'''.
 
Konocita la chanjesi di konkaveso e la extremi dil funcion, do on povas trovar skiso di grafiko.

== derivajo ed optimiseso ==

Metodo por maxim bone uzar rendimento per helpo di diferenciala kalkulo:


1ma - Matematikeso

a) Defini e desegno : on definas la ne-konocata varianti ed on reprezentas li sur skemo.

b) Skribas la [[objektala funciono]] a du varianti e precizigar se on riserchas maximo o minimo en la donita situo.

c) trovar la relato inter la du [[varianto|varianti]].

d) Skribas la [[objektala funciono]] a un varianto e precizigar la domeno dil funciono.

2ma - Analiso.

a) Derivadar la funciono per obtenar la [[prima derivajo]].

b) trovar la krizala nombri dil funciono, ube la prima derivajo valas zero o ne existas en la intervali di domeno.

c) Efektigar la [[testo dil prima derivajo]] o la [[testo dil duesma derivajo]] per determinar la maximo o la minimo dil situo.

3ma - On formulas la respondo di konciza fasono per raporto a la questiono.

== Derivadi ed asimptoti ==

* Videz [[Asimptoto]]

Tanta foye kam on determinas la asimpoti dil funciono, on povas notar li en la [[tabelo di varieso]] per trasar adequate la skiso dil grafiko.

== Derivadi di [[exponentala funciono|exponentala]] e [[logaritma funciono|logaritma funcioni]] ==
=== Videz anke ===
* [[Exempli pri kalkulo di derivajo]]
* [[teorio pri finita augmenti]]
* [[teorio di Darboux]]

[[Kategorio:Matematiko]]